Наряду с нечёткими множествами и нечёткими переменными в нечётком исчислении определённую роль играют нечёткие отношения, которые формируются в виде подмножества декартового произведения 2-х подмножеств, т. е. r: (X Y) X Y.При этом функция принадлежности μr(x; y)/(x; y) характеризует степень принадлежности пары элементов (x; y) множеству r. Если n-арное отношение r(x1, x2,… xn), то его функция принадлежности должна быть найдена для каждого набора переменных (x1i, x2i,… xni), т. е. μ(x1, x2,… xn)/(x1i, x2i,… xni).Над нечёткими множествами и отношениями выполняются такие же операции, как и над обычными (чёткими). Отличие заключается в определении функции принадлежности, которая принимает значение на интервале [0; 1].Объединение нечётких множеств A и B есть множество C, состоящее из всех тех элементов универсального множества U, которые принадлежат хотя бы одному нечёткому множеству A или B: Символ означает операцию выбора максимума из 2-х значений функций принадлежности μA(U) и μB(U). Поэтому функцию принадлежности элемента универсального множества U объединению двух нечётких множеств A и B равна максимальному значению функции принадлежности для 2-х множеств A и B, т. е. Пересечение нечётких множеств A и B есть множество C, состоящее из всех тех элементов универсального множества U, которые принадлежат и к нечёткому подмножеству A, и к нечёткому подмножеству B. Символ& означает операцию выбора минимума из 2-х значений функций принадлежности μA(U) и μB(U). Поэтому функцию принадлежности элемента универсального множества U объединению двух нечётких множеств A и B равна минимальному значению функции принадлежности для 2-х множеств A и B, т. е. Дополнение A есть нечёткое множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих нечёткому множеству A: Функция принадлежности дополнения нечёткого множества μA(U) определяется разностью функции принадлежности элемента универсальному множеству U, т. е. 1, и нечёткому множеству A, т. е. μA(U). Следовательно, Разность нечётких множеств A и B есть множество C, состоящее из всех тех элементов универсального множества U, которые принадлежат к нечёткому подмножеству A и не принадлежат к нечёткому подмножеству B; используя правила эквивалентных преобразований формул множеств, можно определить значение функции принадлежности по ранее выведенным формулам: Разность множеств можно определить, используя операции пересечения и дополнения: Значение функции принадлежности элемента универсального множества U разности 2-х нечётких множеств A и B равно минимальному значению функций принадлежности для двух множеств A и B: Симметрическая разность нечётких множеств A и B есть множество C, состоящее из всех тех элементов универсального множества U, которые принадлежат к нечёткому подмножеству A и не принадлежат к нечёткому подмножеству B или принадлежат к нечёткому подмножеству B и не принадлежат к нечёткому подмножеству A; используя правила эквивалентных преобразований формул множеств, можно определить значение функции принадлежности по ранее выведенным формулам:Для C = AB = (A B) (B A) = Значение функции принадлежности элемента универсального множества U симметрической разности 2-х нечётких множеств A и B равно максимальному значению двух минимальных значений для пересечения множеств (A B) и (B A): Это правило получило название “максимина”.Возведение в степень нечёткого множества A формирует две операции: концентрации и растяжения. Операция концентрации. Значение функции принадлежности определяется по формуле: Для лингвистической переменной эта операция выражается добавлением слова “очень”.Операция растяжения нечёткого множества Значение функции принадлежности определяется по формуле: Операция контрастной интенсивности увеличивает значения функции принадлежности, которые > 0,5 и уменьшает значения функции принадлежности, которые < 0,5, уменьшая т. о. размытость нечёткого множества: Декартово произведение нечётких множеств A и B есть множество, обозначаемое A B и состоящее из всех тех или только тех упорядоченных пар (a; b), первая компонента которых принадлежит множеству A, а вторая – множеству B. Значение функции принадлежности определяется по формуле: